bate's blog

調べたこと実装したことなどを取りとめもなく書きます。

積分5の別解法

I=\int \sqrt{x^2+a}\,dt
\hspace{8pt}=\int (x)'\,\sqrt{x^2+a}\,dt
\hspace{8pt}=x\,\sqrt{x^2+a}-\int x\, (\sqrt{x^2+a})'\,dt
\hspace{8pt}=x\,\sqrt{x^2+a}-\int x\, \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}\, dt
\hspace{8pt}=x\,\sqrt{x^2+a}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}\, dt
\hspace{8pt}=x\,\sqrt{x^2+a}-\int \frac{(x^2+a)-a}{\sqrt{x^2+a}}\, dt
\hspace{8pt}=x\,\sqrt{x^2+a}-\int (\frac{x^2+a}{\sqrt{x^2+a}}-\frac{a}{\sqrt{x^2+a}})\, dt
\hspace{8pt}=x\,\sqrt{x^2+a}-\int \frac{x^2+a}{\sqrt{x^2+a}}\,dt + \int \frac{a}{\sqrt{x^2+a}}\, dt
\hspace{8pt}=x\,\sqrt{x^2+a}-I+a\,\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}\,dt
\hspace{20pt}(\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}\,dt=\log \|x+\sqrt{x^2+a} \|)
\hspace{8pt}=x\,\sqrt{x^2+a}-I+a\,\log \|x+\sqrt{x^2+a}\|
\therefore\, 2I = x\,\sqrt{x^2+a}+a\,\log \|x+\sqrt{x^2+a}\|
\therefore\, I = \frac{1}{2}(x\,\sqrt{x^2+a}+a\,\log \|x+\sqrt{x^2+a}\|)+C
Cは積分定数

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