bate's blog

調べたこと実装したことなどを取りとめもなく書きます。

エルミート行列の対角化

A=\begin{pmatrix} 1 & i & 2 \\ -i & -2 & i \\ 2 & -i & 1 \end{pmatrix}
A=A\ast
行列Aの固有値を求める.
f_{A}(x) = \| xE-A \|
\hspace{28pt} = \begin{vmatrix} x-1 & -i & -2 \\ i & x+2 & -i \\ -2 & i & x-1 \end{vmatrix}
\hspace{28pt} = (x-1)(x+2)(x-1) + 2 + 2 - {4(x+2)+(x-1)+(x-1)}
\hspace{28pt} = x(x-3)(x+3)
\therefore \, \lambda_{1}=0,\hspace{5pt} \lambda_{2}=-3,\hspace{5pt} \lambda_{3}=3
固有ベクトルを求める.
(\lambda_{i}E-A)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\hspace{5pt}(i=1,2,3)
\lambda_{1}=0:\,x_{1}=\begin{pmatrix}1\\-i\\-1\end{pmatrix},\, normalize \, x_{1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}
\lambda_{2}=-3:\,x_{2}=\begin{pmatrix}1\\2i\\-1\end{pmatrix},\, normalize \, x_{2}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{2i}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}
\lambda_{3}=3:\, x_{3}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\, normalize\, x_{3}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
ユニタリ行列U
U=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2i}{\sqrt{6}} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
U\ast = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{i}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2i}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
このユニタリ行列を用いてエルミート行列を対角化する.
U\ast \, A \, U = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
\hspace{38pt} = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} \end{pmatrix}

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