bate's blog

調べたこと実装したことなどを取りとめもなく書きます。

積分4

\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}\,dx = \log \,\|x+\sqrt{x^2+a}\|+C
Cは積分定数
\sqrt{x^2+a}=t-x, \hspace{5pt} x= \frac{t^2-a}{2t}, \hspace{5pt} dx = \frac{t^2+a}{2t^2}\,dt
\sqrt{x^2+a}=t-x
\hspace{39pt} = t-\frac{t^2-a}{2t}
\hspace{39pt} = \frac{2t^2}{2t} - \frac{t^2-a}{2t}
\hspace{39pt} = \frac{t^2+a}{2t}
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}\,dx = \int \frac{2t}{t^2+a} (\frac{t^2+a}{2t^2}\,dt)
\hspace{52pt} = \int \frac{1}{t} \, dt
\hspace{52pt} = \log \, t + C
\hspace{50pt}(t = x + \sqrt{x^2+a})
\hspace{52pt} = \log \, \|x+\sqrt{x^2+a}\|+C

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